翻一倍，要等多久？

《穷查理宝典》读书会备课稿：从对数理解复利、数据与感知

整理日期：2026 年 11 月 4 日。讨论来源：HN：The Lost Art of Logarithms，发帖日期为 2025 年 3 月 13 日。

适用对象：学过中学数学，但对“对数、指数、复利”只剩名词印象的成年人。现整合三则视频，建议分成两次：第一场 90 分钟学会对数与复利；第二场 60 分钟讨论数据、感知与模型的边界。准备纸、笔、硬币和带有 log 键的计算器；不要求提前读完英文材料。

本稿是教学改编。网友的看法、芒格的论述和这里设计的练习分别标明，不把社区讨论当作数学史或教学效果的定论。

三则视频的分工如下。完整视频留给主持人备课，课堂只播放与眼前问题有关的短片段，随后立即算题或讨论。

教学顺序采用“火星课堂 → 毕导 → 漫士”，其中毕导和漫士适合成对观看：一个提出引人入胜的解释，一个帮助我们继续追问解释的条件。视频中的经验概括仍须核查，不能因为讲得流畅就当作普遍定律。

课堂片段可直接从以下链接进入。时间为定位范围，播放到表中讨论点即可暂停。

一、这页在谈什么

HN 链接指向 Charles Petzold 正在写作的网络书 The Lost Art of Logarithms。书名可译为《失落的对数技艺》。作者从旧式计算工具讲起，带读者理解对数怎样帮助人们计算。它仍在更新，不能把今天的页面当作 2025 年讨论时的固定版本。

原书第二章演示了用对数表完成乘除：查出两个数的对数，做加减，再反查结果。作者还讨论了有限位数和近似计算。因此，旧式工具的价值不只是省力，也在于逼使用者判断数量级和精度。原书第二章

讨论中最值得带进读书会的是以下几条。

读书会不必复述整串讨论。旧书收藏、编程细节和网友互荐书单可以留作课后线索。第一课集中解决一个问题：一个数量按固定比例增长，什么时候达到目标？

二、为什么它与《穷查理宝典》直接相关

备课所用的《穷查理宝典》摘录中，有两处能成为本课的支点。

第二讲谈数学时说：

所以你们必须掌握这种非常基础的数学知识，并在生活中经常使用它。

第三讲谈图表时说：

你们可以用它来查复利——而复利是地球上最重要的模型之一。

后一段的“它”，指前文所说的对数图表。相关演讲可从原书官方入口（第二讲、第三讲）回查。这里沿用备课摘录的译文，未另做版本校勘。

因此，这堂课可以同时完成三件事：

1. 把复利算明白。 每次增长都以当时的数量为基础，下一次的起点会改变。
2. 把对数用起来。 已知增长方式和目标，反过来求需要多久。
3. 练习检查模型。 真实增长率会不会变？有没有损失？有没有容量上限？计算正确不等于前提成立。

第三点是本课的教学延伸。不要把这里安排的例题或措辞说成芒格的原话，也不要把数学中的反向求解直接等同于芒格的逆向思维模型。

三、第一场 90 分钟怎样安排

如果前面的百分比或乘方需要多练，就把图表部分留到下一次。理解一道题比赶完全部内容更重要。

第二场在第一场之后进行，另用 60 分钟，不挤占基本概念的练习时间：

第二场的主持人讲法与练习见第八节。

四、主持人可以怎样讲

1. 开场：先提出要解决的问题

可以这样说：

这次我们来解决一个小问题：一件东西每年增长十分之一，要多久才会变成原来的两倍？先不用公式，猜一猜也可以。等会儿我们会发现，“对数”这个名字，就是为一类这样的反问准备的。

芒格让我们懂复利。我们今天把“懂”落实到两件事：能算出需要多久，能说清这个算法在什么条件下才适用。

让大家记下猜测。先不宣布正确答案，也不要把猜错当作“数学不行”的证据。

2. 从一张翻倍表认识对数

从 1 出发，每走一步乘以 2。

先问：“走 3 步到哪里？”答案是 8。

再问：“已经到了 8，走了几步？”答案是 3。

前一个问题用乘方写成 2³ = 8。后一个问题用对数写成 log₂8 = 3。

这两个式子说的是同一件事，只是已知和未知换了位置。 底数 2 告诉我们每一步乘多少；对数的答案告诉我们需要多少步。先用整数步理解，稍后再补不足整步的情况。

请学员自己解释 log₂32 = 5，不要只齐声念读。

如果有人问为什么零步是 1：我们就是从 1 出发，还没有乘任何一个 2。表格往左每退一步除以 2，也会从 2 退到 1。

3. 为什么乘法能变成加法

8 是三个 2 相乘，4 是两个 2 相乘。把两者相乘，一共有五个 2：

8 × 4 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2) = 32

数量相乘：8 × 4 = 32
步数相加：3 + 2 = 5

所以，把数换成同一底数下的对数后，乘法就对应加法：

log₂(8 × 4) = log₂8 + log₂4 = 5。

这一例子用很小的数，是为了看清关系。原书展示的旧式对数表，是把类似关系用到更复杂的计算中。查表、相加、反查，能减少手工乘法的工作；有限精度的表会带来近似误差。对数关系本身是精确的，表格的位数和读数精度是有限的。 原书第二章及第三章

初学者到这里不必背齐所有运算法则。能用五个 2 解释这道题，就已经抓住了其中一个关系。

接入火星课堂：播放约 01:04—02:24。视频把 100000 × 1000 写成 10⁵ × 10³，用指数相加看清计算。暂停后，让学员自己算 10000 × 1000000，并解释答案为何是 10¹⁰。

提醒：“数零”只适用于这里 10 的非负整数次幂，对数并不等于数零。本课的翻倍表用底数 2，视频此例用底数 10，两者都遵循同底数乘方时指数相加的关系。

随后用一句话接回 HN：“整十次幂容易数；遇到普通数字，对数表帮我们找到相应的指数，再做加法。”视频后面的查表示例可留作课后；太阳质量计算涉及物理前提，作为拓展，不在第一场要求全部掌握。这样，火星课堂的板书、Petzold 的旧计算工具和芒格的基本数量能力，就围绕同一个问题展开。

4. 对数为什么不总是整数

从 1 到 2 是一步，从 1 到 4 是两步。3 在 2 和 4 之间，因此 log₂3 在 1 和 2 之间，约为 1.585。

“1.585 步”不是要求人做半次机械动作，而是把整数次乘方扩展到分数、小数的指数。例如，两个半步应当合成一个整步，所以每半步的倍数是 √2，约 1.414：

1 × √2 × √2 = 2。

半步的倍数不是 1.5，因为 1.5 × 1.5 = 2.25。这一小例子也提醒我们：按比例增长，不能直接按普通加法分半。

只要求大家理解“对数的答案可以不是整数”。完整的实数指数理论留待以后。关于乘方、开方和对数的基本关系，可参看《费曼物理学讲义》第一卷第 22 章。

5. 回到芒格：翻一倍要多久

假设起初有 100 个单位，之后每年增长 10%，期间不另外增加或取走数量。这是一个为了学习而设定的固定增长模型。

第二列每次只加 10；第三列每年都以当时的数量为基数。第一年多出的 10，第二年也参与增长。这就是复利的关键。

每年增长 10%，相当于每年乘以 1.1。经过 n 年，数量是：

100 × 1.1ⁿ。

要变成 200，就问：

100 × 1.1ⁿ = 200
      1.1ⁿ = 2

它和刚才“2 要升到几次方才得到 8”是同一类问题。这里问的是：1.1 要升到几次方，才得到 2？

用计算器算：

n = log(2) ÷ log(1.1) ≈ 7.27。

计算器若用 ln 键也可以，但分子分母必须使用同一种对数。本课只把换底公式作为工具，不要求在第一次课证明。

这里要说明时间模型：7.27 是将 1.1ⁿ 延伸到非整数年份得到的理论时间；如果数量只在每年年末增加一次，首次达到两倍是在第 8 年年末。第 7 年约为 194.87，第 8 年约为 214.36。

然后反问：如果增长率降到 5%，翻倍所需时间会怎样？相同算法得到约 14.21 年。要先说清假设，再使用结果；模型不能保证现实会一直保持这个增长率。

6. 芒格为什么会用对数图表

普通刻度上，走相同距离，增加同样多；对数刻度上，走相同距离，乘以同样的倍数。

下面两行都表示在各自刻度上依次走相同距离：

普通刻度：100 ─── 200 ─── 300 ─── 400
对数刻度：100 ─── 200 ─── 400 ─── 800

第二行每一步都翻倍。100 到 200 与 400 到 800 的增加量不同，但增长比例相同。

若横轴是普通时间刻度，纵轴是对数刻度，恒定比例的指数增长会呈现直线。这样便于比较增长比例。普通纵轴则更直接地显示数量及其增加量。

图没有改变数据，只是改变了距离代表的意思。看图时必须先看坐标轴。看到一段近似直线，也不能仅凭形状就认定增长率将来仍会保持不变。

五、当场练习与答案

先让学员独立作答，再让两人互相解释原因。算式可以查，解释要自己说。

题一：把名词变成一句话

log₂64 = 6 是什么意思？

答案：从 1 出发，连续乘 6 个 2，得到 64；也就是从 1 开始翻 6 次倍。

检验点：不要只回答“64 的对数是 6”。那只是把符号重新念了一遍。

题二：真的回到原处了吗

一个数量从 100 增长 50%，再减少 50%，最后是多少？

答案：100 × 1.5 × 0.5 = 75。第二次的 50% 是以 150 为基数，减少的是 75。

讨论：百分比必须带着基数一起理解。连续变化要把各期的倍数相乘，不能把百分比简单相加抵消。

题三：达到目标需要多久

一个数量每年年末增长 10%，从 100 开始，第几年年末首次达到或超过 200？

答案：第 8 年年末。7.27 是指数公式给出的非整数解，题目规定只在年末增长，因此向上取整。

检验点：学员能否用自己的话说明为什么不是第 7 年；能否说出“增长率每年保持 10%”是题目的假设。

加一道选做题：从增长换到容量

某种盒子的容量只能是 1、2、4、8、16……。要放 1000 件物品，最小该选哪种盒子？

答案：2⁹ = 512，2¹⁰ = 1024，所以选容量 1024 的盒子。log₂1000 ≈ 9.966，必须向上取整到 10 次方。这是根据 HN 中二次幂容量的讨论改编的练习，并非网友的原例题。讨论来源

六、哪些话要讲准，哪些内容先不讲

• 幂函数和指数函数不同。 x² 是底数在变、指数固定；2ˣ 是底数固定、指数在变。本课的复利是后者这一类，不能把两者混叫。
• 开方和对数问的是不同的未知量。 已知 2³ = 8，问“哪个数的三次方等于 8”用开方；问“2 的几次方等于 8”用对数。
• “数步数”是入门解释。 它需要扩展到分数和小数，不能把所有对数都说成整数次数。
• 普通实数对数只对正数定义。 第一课使用大于 1 的底数；一般底数须大于 0 且不等于 1。不能把零和负数直接画进普通对数轴。
• 复利不是所有成长的通用定律。 学习、健康、关系的发展不能仅凭比喻套入固定增长率公式。若要使用模型，先说明能够量化的对象、机制和条件。
• 精确关系与近似工具分开。 不要说“对数算出来必然不准确”；有限精度的表、显示和读数才会产生相应误差。
• 暂不展开自然常数 e、复数、微积分、分贝及全部对数史。它们可以成为后续课，但不是解决今天这个问题的前提。
• 不照抄未核实的历史说法。 HN 评论中的词源猜测、学习效果估计和私人回忆，只能作为线索。用户摘录中关于图表发明年代的说法也不纳入本课史实介绍。

七、怎样判断这次读书会有用

结束时请每位学员写三句，不必交一张公式表：

1. 我现在能用对数回答的一个问题是……
2. 我以前容易弄错的一点是……
3. 使用这个增长模型前，我要先确认……

主持人检查他们能否说清“反过来求指数”“百分比的基数”“固定增长率是假设”。若只能复述“复利很重要”，下一次仍应从一道小题开始。

本课在整套读书会中可放在“基本数量感与百分比”之后、“概率与不确定性”之前。下一课顺势追问：如果每年的增长有好有坏，为什么不能拿平均增长率直接替代真实路径？这比再增加一串思维模型名词更自然。

八、第二场：世界是对数的吗？

第二场承接上一场的工具，练习解释和检验现象。核心问题是：看到一个现象能用对数描述，是否就足以认定它由同一种机制产生？

1. 用毕导开场：同样增加一点，为什么感觉不同

毕导的音乐例子适合唤起经验。播放约 01:00—01:54，观察高一个八度和高两个八度对应的频率倍数，然后补一个可以当场核算的例子：

• 从 100 增加到 200，增加 100，也增加了 100%。
• 从 10000 增加到 10100，同样增加 100，却只增加了 1%。

请学员分别说出“增加多少”和“增加多少比例”。这两个问题都合理，不能把绝对量和相对量混在一起。

主持人过渡：“刚才我们区分了两种数学关系。视频还提出，人对一些变化的感受也与比例有关。但数值关系、感官实验和一生的时间体验，是三种不同层次的证据。接下来逐件看。”

不把“所有感觉都严格服从同一条对数曲线”写成课程结论；也不把感官反应、对数计量单位和人生时间感直接当作同一回事。

2. 用漫士解释本福特：先把假设说出来

播放约 01:17—03:23，接着只画一个从 1 到 10 的对数区间。

在这把尺子上，1 到 2 占整段长度的 log₁₀2 ≈ 0.301；9 到 10 只占 log₁₀(10/9) ≈ 0.046。

如果我们在这段对数尺上均匀选点，再读出点代表的数，那么落在 1 至 2 之间的比例约为 30.1%，落在 9 至 10 之间的比例约为 4.6%。前者的首位数字是 1，后者是 9。

这说明了本福特首位数字公式 P(d) = log₁₀(1 + 1/d) 的一种直观来源。NIST 定义

主持人旁注：完整的本福特有效数字规律，可用十进制对数的小数部分均匀分布来精确刻画；本课只演示首位数字。仅有首位数字符合公式，不足以反推出完整规律，也不必要求全部数据的对数在某个有限区间内严格均匀。此旁注不用要求初学者掌握。Hill 的推导及适用条件

需要停下来问：“我们解释了给定分布为什么产生这个比例；现实中的这批数据，为什么应当有这样的分布？”这一步还需要研究数据的产生方式，不能省略。

3. 用一个反例，限制一个大结论

播放漫士约 04:10—04:57，然后给出一组可以全数清点的数字：1 到 99，每个整数恰好出现一次。

也可先看毕导约 08:02—08:36：他本人同样指出，不少数据不符合本福特定律。两段合看，保留两位作者各自给出的限制条件。

其中以 1 开头的数是 1，以及 10 到 19，共 11 个，占 11/99 ≈ 11.1%，并不是 30.1%。若把范围改为 1 到 199，则以 1 开头的有 111 个，占约 55.8%。

这两组数字都没有造假，只是生成规则和截取范围不同。因此：

• 本福特定律不是“所有数字都应有三成以 1 开头”。
• 跨越几个数量级，也不单独保证符合本福特定律。
• 偏离某个比例，可以提出进一步调查的问题，不能单凭它给数据判假。

与芒格相接：一个模型帮助我们看见规律，另一个反例帮助我们看清边界。这里训练的是客观核查，不能把“知道一个定律”当作“已经解释一切”。

4. 用硬币把复利接到概率

播放漫士约 10:16—11:41。为让所有人能算清，把视频中的多轮实验改成两轮，不要求先懂正态分布。

抛一枚公平硬币两次，每次相互独立。同时记两本账：

• A 账：从 0 开始，正面加 1，反面加 0。
• B 账：从 1 开始，正面乘 2，反面乘 0.5。

这里穷举的是全部可能路径，不是要求现场每种结果各出现一次。四种路径各有四分之一的概率，小样本的实测次数未必相等。B 账有一半路径回到 1，却有一条路径达到 4；四个结果的平均数为 1.5625。这个平均数并不是任何一条路径的终点。

再把 B 账的每个结果取以 2 为底的对数，就得到 2、0、0、−2。每次乘 2 对应加 1，每次乘 0.5 对应减 1。乘法过程取对数后变成加法过程，上一场学的关系又用上了。

请学员回答：

1. 一次翻倍、一次减半，为什么能回到起点？因为 2 × 0.5 = 1。
2. 为什么“涨 50%，跌 50%”不一样？因为 1.5 × 0.5 = 0.75。两组题的倍数不同。
3. 只报告平均数，能否把结果分布交代清楚？不能；还要看不同结果及其概率。

主持人校正：这张两轮表是离散分布。视频的有限次硬币实验也不能严格称为连续的正态或对数正态分布。更准确的说法是：在适当条件下，许多随机影响相加可近似正态；许多正的随机因子相乘，取对数后可能近似正态。独立性本身不是全部条件。

“对数正态”指一个正值随机变量取对数后服从正态分布。观察数据时，可以把整批数据逐个取对数，再看它们的分布。这与“取对数后均匀分布”不同，也不意味着必然满足本福特定律。不是只换一下原直方图横轴的刻度就完成了这种统计变换。NIST 对数正态定义

与芒格相接：固定复利帮助我们算清一条理想路径；加入随机变化，就需要概率模型。这正是多种基本知识一起使用，而不是给同一把工具增加更多口号。

5. “18 岁过完一半人生”：把动人的说法拆开

播放毕导约 03:44—04:04。他用对数时间模型提出一个醒目的结论：从 4 岁开始计算记忆，到 80 岁结束，主观时间的中点约在 18 岁。课堂把它作为给定假设的演算，不作为对每个人一生的测量结果。

假设主观进度按下式计算：

主观进度 = [log(年龄) − log(4)] ÷ [log(80) − log(4)]。

令进度等于一半，得到：

中点年龄 = √(4 × 80) ≈ 17.89。

这道算术成立，但它只说明 4 与 80 在对数轴上的中点在哪里。若把起点改为 9 岁，同样算法给出 √(9 × 80) ≈ 26.83。参数一变，结果也变。

让学员把下面三句话分别放进“数学结论”“模型假设”“需要调查”的格子：

一项涉及 499 名参与者的时间感受研究发现，年龄与部分时间判断存在关联，但年龄效应最多解释约 10% 的变异，作者也指出方法限制。这不足以建立统一的“人生进度条”。本课据此保留提问和数学练习，不把这个比喻当作人生判词。Wittmann 与 Lehnhoff，2005，研究摘要

6. 收束：每个模型写一张使用说明

请学员从本课任选一个模型，填四句话：

我要解释或计算的是：
我用到的关系是：
这个方法需要的条件是：
遇到什么证据，我会修改解释：

以复利为例：计算目标达到的时间；用连续相乘；先说明增长率、增长时点及有无额外流入流出；若增长率变化，就调整模型。以本福特为例，则先检查数据产生方式与范围，不能机械套用 30.1%。

第二场的目标是让读者既能欣赏好解释，也能检查好解释。数学、概率、心理学与芒格的多学科思路，便在一个具体问题上相遇了。

备课材料

• 火星课堂：《为什么对数是伟大的发明！》：第一场的计算动机，首选 01:04—02:24。
• 毕导：《这个定律，预言了你的人生进度条！》：第二场的生活体验、时间模型与本福特例外。
• 漫士沉思录：《世界是对数的……吗？为什么？》：第二场的数据生成、反例与硬币实验。
• HN 主讨论：The Lost Art of Logarithms：用于呈现理解困难、不同教法和实际用途；不是权威事实汇编。
• Charles Petzold：The Lost Art of Logarithms：网络书总入口，写作仍在进行。主持人优先读第二章和第三章，不必一次布置全书。
• 《费曼物理学讲义》第一卷第 22 章：可核对乘方、开方、对数的基本关系。该章后面超出本课范围，不作为学员必读。
• 《穷查理宝典》官方入口：本课中文引文沿用备课摘录；请结合手头译本回查第二讲、第三讲。

视频核对方式：漫士视频依据 YouTube 上传的中文字幕全文；火星课堂和毕导视频依据本地音轨自动转写，并对照板书或烧录字幕抽查本稿使用的关键内容。片段时间用于课堂定位，自动转写有误识，未作为正式逐字稿交付。数学例题另行复算，模型边界参照文中列出的原始论文与 NIST 资料。

在线阅读：翻一倍，要等多久？